최단거리 알고리즘

다익스트라(Dijkstra) 알고리즘

 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘은 최단거리를 구하는 방법으로 유명한 알고리즘입니다. 이 방법은 그리디하면서 다이나믹한 방법입니다.(뭔말이지? --;) 먼저 그리디적이라는 말은 현시점에서 볼 때 자신과 연결된 곳 중 가장 짧은 곳을 찾는다는 것이고, 다이나믹하다는 말은 시발점에서 어떤 점까지의 거리를 저장해 둬서 그 저장해 둔 거리를 이용해서 더 먼 곳까지의 최단거리를 구하기 때문입니다.(결국엔 다이나믹이군..) 사실 이렇게 말로만 들어서는 뭘 어떻게 해야할지 감이 잘 안 오실겁니다. 이제 다익스트라 알고리즘에 대해서 자세히 알아보죠.

 위와 같은 그래프가 있다고 합시다. 그럼 이 그래프를 가지고 1에서 8로 가는 최단거리를 다익스트라를 이용해서 구해 보겠습니다.

 먼저, 이 그래프를 인접행렬로 나타냅니다.

0 2 m m m 3 m m
2 0 4 1 m m m m
m 4 0 m m 3 m m
m 1 m 0 3 m 2 m
m m 3 3 0 m m 4
3 m m m m 0 6 m
m m m 2 m 6 0 4
m m m m 4 m 4 0

여기서 m값은 충분히 큰 값을 의미하는 상수입니다. 충분히 큰 값이란 말은 "너무 멀어서 이동할 수 없다."라는 뜻이고, 다른 값들보다 더 크기만 하면 됩니다. integer형이면 대충 30000만정도로 주면 됩니다. 32767을 주면 안됩니다. 궁금하시면 직접 해보세요. 어떻게 되나.. 정확한 범위는 (최단거리<m<=가장 큰 값(integer에선 32767)-최단거리)

 1과 연결된 모든 정점 중 최소값을 가진 정점(여기서는 2) 에 표시를 붙여 확정합니다. 그 확정한 정점과 연결된 정점사이의 거리를 구하고, 아직 표시를 하지 않은 정점의 거리 중 최소값을 가진 정점에 표시를 붙여 확정합니다. 이런 식으로 모든 정점에 표시가 붙여 확정하면 1에서 어디로 가는 최단거리도 다 구할 수 있습니다. 정리하면 다음과 같습니다.

1. 시작점과 연결된 정점 중 최소값을 가진 정점에 표시를 붙여 확정한다.
2. 확정한 정점과 연결된 모든 정점의 거리를 구해서 저장해 둔다.
3. 모든 정점에 표시가 붙어 확정될 때까지 반복한다.

 program dijkstra;
 const
   n=8;
   m=5000;
   data:array[1..n,1..n] of integer= (
   (0,2,m,m,m,3,m,m),
   (2,0,4,1,m,m,m,m),
   (m,4,0,m,m,m,3,m),
   (m,1,m,0,3,m,2,m),
   (m,m,3,3,0,m,m,4),
   (3,m,m,m,m,0,6,m),
   (m,m,m,2,m,6,0,4),
   (m,m,m,m,4,m,4,0));
 var
   i,j,k,s,e,min: integer;                       {s는 시작점, e는 끝점, min은 거리의 최소값}
   v,distance:array[1..n] of integer;            {v는 확정표시, distance[i]는 시작점에서 i까지의 최단 거리}
 begin
   write('시작점을 입력하시오 : ');readln(s);
   write('도착점을 입력하시오 : ');readln(e);
   
   for j:=1 to n do
   begin
     v[j]:=0;                                      {방문상태 초기화}
     distance[j]:=m;                               {거리를 전부 최대값을 넣음}
   end;
   
   distance[s]:=0;                                 {자신에서 자신까지의 거리는 0이므로..}

   for i:=1 to n do
     begin
      min:=m;
      for j:=1 to n do                             {연결된 곳 중 최단거리인 곳을 찾음}
       if (v[j]=0) and (distance[j]<min) then  
        begin
          k:=j;
          min:=distance[j];
        end;
	
      v[k]:=1;                                     {연결된 곳 중 최단거리인 곳을 확정}
     
      if min=m then            {min=m은 위에 루프에서 if의 조건을 만족한 적이 한번도 없다는 말}
       begin                   {즉,연결된 곳이 아예 없다는 말과도 같다.} 
         write('연결되어 있지 않습니다.');   
         exit;
       end;

      for j:=1 to n do
        if distance[k]+data[k,j] < distance[j] then  {s->k->j의 거리 < s->j의 거리}
          distance[j]:=distance[k]+data[k,j];        {그 값(s->k->j의 거리)을 j로 가는 최단거리로 저장}
   end;
    writeln(s,'=>',e,':',distance[e]);
 end.

한번만 봐서는 이해가 잘 안 되실 수도 있습니다. (뭐.. 머리가 좋으신 분이시라면.. 그렇지도 않겠지만..) 잘 이해가 안 되시면 그래프를 가지고 그림을 그려보세요. 그럼 이해하는데 많은 도움이 될 것입니다.

 이상으로 다익스트라 알고리즘 강좌를 마칩니다. 질문 있는 분은 Q&A게시판에 글 남겨주세요. 다음은 모든 정점을 출발점으로 하는 플로이드(Floyd)알고리즘에 대한 강좌를 하겠습니다. 그럼 오늘도 즐플~^^;